The Prime Russian Magazine

А теперь позвольте мне рассказать вам о том, как меня очаровала совершенно новая для меня тема — колебание цен. Предпосылки таились еще в моей ранней работе по другому хорошо известному сюжету — закону распределения личных доходов, который Вильфредо Парето (1848–1923) вывел в последней декаде XIX века. Этот закон, а также моя работа, ему посвященная, заинтриговали нескольких экономистов, и я был приглашен выступить на Гарвардском семинаре под руководством Хендрика Хаутхаккера (1924–2008).

Войдя в тот день в офис Хэнка, я столкнулся с одним из самых памятных сюрпризов в своей жизни. Представьте себе: причудливая кривая, которая висела на доске Хэнка, оказалась почти идентичной той, что я приготовил для своей лекции! «Как же так вышло, — спросил я недоуменно, — что мои открытия про поводу личных доходов уже выставлены на всеобщее обозрение?!» — «Не понимаю, о чем вы. Это график цен на хлопок». Как выяснилось, Хэнк работал со своим студентом до моего прихода и просто не успел протереть доску.

Каким образом то, как доход и богатство распределяются в обществе, оказалось связанным со взлетами и падениями цен на хлопок? Почему в обоих случаях проявились те же кривые? Может ли эта находка открыть нам более глубокую связь между этими двумя аспектами экономики — странную правду, случайно затесавшуюся между двумя таблицами? К тому времени главные корифеи финансовых наук как раз заново открыли хорошо забытую истину о том, что цены колеблются примерно так, как когда бросаешь монету на кон. И усиленно искали тому доказательства — разумеется, тщетно. Но вот хлопок — хлопок был исключением.

Дело в том, что Нью-Йоркская хлопковая биржа больше ста лет вела ежедневные записи цен на этот важнейший товар, перемещавшийся с плантаций Юга к мрачным фабрикам промышленного Севера. Почти все торги между разными штатами происходили на одной бирже. Казалось бы, мечта экономиста, но для Хаутхаккера и его студента эти данные, наоборот, оказались кошмаром. Они показывали слишком много больших скачков и падений цен. И их волатильность со временем изменялась. Порой цены сохраняли удивительную стабильность, иногда, наоборот, скакали как бешеные. «Мы сделали все возможное, чтобы понять эти чертовы цены на хлопок. Все меняется, нет никакого постоянства. Налицо хаос в худшем виде!» Эти данные никак не хотели соответствовать общепринятой с 1900 года статистической модели, согласно которой изменение цен нового дня не зависело от предыдущего и в целом следовало вероятностной траектории, соответствующей колоколовидной кривой Гаусса.

Мы с Хэнком тут же заключили сделку. Он разрешил мне поковыряться во всем этом хаосе и, вручив мне картонные коробки с перфокартами, заявил: «Удачи! Если получится найти здесь хоть какой‑то смысл, с меня бутылка!»

Вернувшись в IBM, я попросил программиста проанализировать эти записи — точно так же, как в случае моих штудий распределения доходов. Поскольку в списке приоритетов компании я был на одном из последних мест, ждать результатов предстояло долго. Поэтому я сел в поезд до Манхэттена, где тогда находилось Национальное бюро экономических исследований. В его библиотеке томились тысячи пыльных фолиантов с таблицами финансовых данных — настоящие сокровища докомпьютерной эры. Чуть позже я получил еще и записи из Министерства сельского хозяйства США в Вашингтоне. Так, собирая все доступные обрывки данных, я выстроил самую настоящую энциклопедию цен на хлопок за более чем век — ежедневных, еженедельных, ежемесячных и годовых.

И не зря: то, что показал мне компьютер, оказалось экстраординарным. Хаутхаккер был совершенно прав: ни дневные, не месячные, ни годовые колебания цен не соответствовали принятой модели 1900 года. Вариация хулиганила! Каждый раз, когда я добавлял очередное изменение цен к данным, оценку вариации приходилось менять. Она никогда не хотела соответствовать одному простому показателю волатильности, а вместо этого выбрасывала коленца, как припадочная. Это было тем более удивительно, что в достоверности самих данных усомниться было невозможно. Более того, значительных скачков оказалось слишком много, чтобы уложиться в колоколовидную кривую.

Два вида изменений цен

И в самом деле, как меняются цены на организованных рынках, так называемых биржах, фондовых или товарных?

На протяжении веков такие рынки прекрасно работали без помощи какой либо математической модели. Первую такую модель предложил математик-аутсайдер, француз Луи Башелье (1870–1948). Она надолго опередила свое время и, несмотря на свою странность, стала стандартной финансовой моделью, которой воспользовался и Хаутхаккер с его ценами на хлопок. Эта модель была продвинутой в финансовом смысле, но не подкрепленной какими‑либо данными. Поначалу на нее почти не обратили внимания, но со временем два события вдохнули в нее новую жизнь. Теоретически Норберт Винер оживил ее в 1920 году, использовав как модель для описания феномена, названного броуновским движением, и углубив в 1930‑х и 1940‑х. С практической точки зрения, появление компьютера в 1960‑х годах позволило взяться и за теорию, и за данные с новыми силами.

Именно благодаря компьютеру смог обратить внимание на недостатки модели Башелье и я. Описал их в грубой форме в докладе в 1962 году и выдвинул контртеорию, которая могла обойтись без формулы, в точном соответствии с кеплеровской мечтой всей моей жизни. Так в 1963 году появилась моя первая статья на эту тему: «Изменение некоторых цен», которую впоследствии будут часто цитировать в экономической литературе. Теория 1900 года предполагала, что скачки цен можно игнорировать — ведь в математическом смысле цены изменяются последовательно — и что изменения цен следуют одним и тем же правилам и в годы процветания, и в периоды депрессии. Множество свидетельств, противоречащих этой теории, делали необходимыми частые и существенные оговорки и исключения. Моя контртеория в 1962 году допускала непоследовательность, а впоследствии, в 1965 и 1973 годах, была расширена в контексте чередующихся периодов роста и рецессии.

Все графики цен выглядят одинаково: вверх-вниз, и нет особой разницы между графиками за несколько дней, месяцев, лет. Удалите даты и показатели цен — и вы не сможете сказать, какой из них какой. Они все одинаково волнистые. «Волнистые» — прямо скажем, сомнительный с научной точки зрения термин, но вплоть до того, как я разработал фрактальную геометрию годами позже, у нас просто-напросто не было приличного способа количественно представить это расплывчатое понятие. А ведь модель фрактала — это ровно то, что мы видим, смотря на данные о ценах на хлопок. Просто фрактальное изменение в одну или другую сторону применяется тут не к форме, вроде цветков цветной капусты, а к модели другого вида, тому, как изменяются цены. Фрактал — это самое сердце финансов. Круг замыкается. Нет ничего удивительно в том, что хлопковый график Хаутхаккера был похож на мой график доходов. Математика‑то та же самая!

Увы, мои осторожные опыты, которые должны были взорвать модель Башелье еще в 1963 году, не удались. Профессиональные экономисты решили, что моя работа слишком сложна и слишком непривычна. Опасное отклонение, которое она представляла, было сложно развить и продать. Куда проще было продолжать плодить бесконечный поток «поправок». Что мне было делать? Я переключился на другие приоритеты, возвращаясь к колебаниям цен лишь эпизодически. А теория 1900 года, которую я дискредитировал, выжила и продолжала привлекать многих молодых математиков и ученых, истощая поля, их рождающие.

А потом, немного позже, чем я ожидал (в 2008 году), рынок сделал то, что должен был сделать, — рухнул.

Кеплер против Птолемея

Две модели изменения цен, Башелье 1900 года и моя 1963 года, были выдвинуты первыми и оказались двумя главными звездами приближающегося шоу. Неужели эта тема так и будет всегда представлена в терминах этого противопоставления? Боюсь, что да, и — со всей свойственной мне скромностью — хотел бы объяснить, почему, применив сравнение с ключевым событием в науке, заменой неверной птолемеевой модели движения планет эллипсами Кеплера. Модель Птолемея утверждала, что планеты вращаются по круговой орбите вокруг Земли. Тем не менее ему регулярно приходилось корректировать ее, когда он замечал аномалии. Так и считали до XVII века, пока Кеплер не доказал, что планеты вращаются вокруг Солнца по эллиптической орбите.

Башелье предположил, что изменение цен следует известной с давних пор кривой распределения, известной также как колоколовидная кривая Гаусса. Ее ключевое свойство — то, что большие отклонения от нормы имеют стремящуюся к минимуму вероятность, следовательно, ими можно пренебречь. На представленном графике колебания цен верхняя кривая — это модель Башелье, показывающая, что большинство изменений — небольшие. Средняя — реальный график изменения цены на акции IBM: обратите внимание на резкие отклонения и гораздо большее число колебаний, чем в модели Башелье. Наконец, нижняя кривая использует мою компьютерную мультифрактальную модель и убедительно показывает: именно она соответствует реальным показателям изменений стоимости финансовых бумаг.

Я предоставил данным интеллектуальное убежище — и, что неудивительно, такое, о котором в то время вряд ли кто‑либо еще что‑то знал. Правда, уроки Поля Леви дали мне возможность ознакомиться с курьезом, который он называл стабильностью, а я предпочел назвать стабильностью Леви. Таким образом, я смог определить такое поведение, как характеристику изменения цен. Работая в IBM, я имел доступ к компьютерному центру, где — с трудом — мы впервые смогли рассчитать стабильные плотности Леви.

К хлопку — без каких‑либо натяжек — это подошло идеально. Моя первая работа в области финансов соединила вместе две сферы знания, весьма отдаленных друг от друга. И что удивительно, стабильное распределение описывало каждый аспект данных — в особенности симметрию при распределении, которую раньше упускали из вида.

Часто утверждается, что при сложении многих величин даже самая большая будет незначительна по сравнению с суммой. Впрочем, на практике происходило прямо противоположное — но только в случаях, которыми практическая статистика заниматься вроде как не обязана. Один мой шумный оппонент постоянно утверждал, что эти случаи «нечестные», и это мнение не довело его ни до чего хорошего. На самом деле эти случаи были хорошо известны экспертам, но их всегда рассматривали как нечто относящееся к ни к чему не применимой чистой математике. Перенеся их в более чем практичную область финансов, я постулировал глубокое различие между «мягким» и «диким» состояниями случайности. Насколько я знаю, все прошлые работы по ценам не имели в виду «дикость» и абсолютно самоуверенно полагались на реальность, которой правит «правильная» случайность, то есть сугубо «мягкая».

Три состояния случайности — «дикое», «мягкое» и «медленное» — можно сравнить с тремя состояниями материи. Разве твердое тело и газ не разделены жидкой фазой? По-моему, то же самое справедливо и для случайности: эквивалент «жидкого» здесь — «медленная» случайность. И жидкости, как правило, гораздо сложнее изучать.

Сомнительный комплимент?

«Нет ни малейшего сомнения, что гипотезы Мандельброта стали самым революционным прорывом в теории цен со времен работы Башелье (1900‑е годы). Его работы заставляют нас самым существенным образом столкнуться лицом к лицу с теми неудобными эмпирическими наблюдениями, которые большинство из нас без сомнения предпочти бы до сих пор прятать под ковер. С решимостью и страстью он заправил в свои рассуждения как неотъемлемую их часть куда более сложный и беспокойный взгляд на экономику, чем тот, с которым имели дело экономисты до того… Мандельброт, как ранее премьер-министр Уинстон Черчилль, обещает нам не утопию, но кровь, пот, изнуряющий труд и слезы. Если он прав, то почти все наши статистические инструменты и прошлая эконометрика не имеют смысла.

Но прежде чем превратить века работы в кучу золы, хотелось бы иметь некоторую уверенность, что вся наша работа действительно бесполезна».

Эта смесь несмелой похвалы и коварного навета — из текста экономиста Пола Кутнера (1930–1978). Впервые я увидел его в декабре 1962 года. Технически эти нападки легко отбить, но в политическом смысле эта и подобные ей атаки убедили меня в том, что слепая лояльность экономистов по отношению к теории Башелье слишком укоренена, чтобы ее можно было преодолеть. Поэтому я просто отошел в сторону. Не важно, что я мог сказать или сделать: критика бы последовала в любом случае. Покинув французскую академическую вольницу ради работы в американской промышленной лаборатории, — а это была колоссальная авантюра! — я доказал, что готов делать спорные ставки. Тем не менее последняя вещь, которую я мог позволить себе в то время, — это быть мистером Нет. Поэтому я выдохнул и пошел дальше. Вскоре я взялся за другую, менее политическую проблему: турбулентность в жидкостях и ее обобщение на большие масштабы, которое обычно называют погодой.

Финансовая ортодоксия основана на двух критических допущениях в ключевой модели Башелье: изменения цен статически независимы, и они подвержены нормальному распределению. Факты, что я рьяно доказывал в 1960‑х годах и что признают уже многие экономисты сегодня, свидетельствуют о противоположном. Во-первых, колебания цен не независимы друг от друга. Исследования нескольких прошедших десятилетий, мои, а потом и не только, показывают, что многие ряды финансовых цен имеют своего рода «память». Если цены резко подскакивают или, наоборот, понижаются сегодня, то есть огромная вероятность, что они будут двигаться так же резко и на следующий день. Это не то «хорошее», предсказуемое поведение, какое предпочитают экономисты, — скажем, не периодические движения вверх и вниз от бума до спада, которыми учебники описывают стандартный бизнес-цикл. Как показывают мои последние работы, речь идет о более сложной, долгой памяти — той, которую можно проанализировать посредством фракталов. Во-вторых, распределение изменения цен — не «нормальное». Общепринятая теория утверждает, что если вы измеряете изменения между одним днем, часом или месяцем и последующими, то большинство изменений будут очень малы, и лишь несколько дней продемонстрируют большие изменения — это и будут «исключения» на колоколовидной кривой, которая обычно используется для их описания. На деле больших изменений, то есть дней, когда цены рушатся или взлетают, гораздо больше, чем гласит стандартная теория.

Прежде чем спрятать все эти «неудобные» данные под ковер, Кутнеру следовало бы понять, какой объем информации он уничтожает. В 1960‑х годах проиллюстрировать это было нелегко, а сейчас очень просто. Возьмите любой актуальный индекс цен и посмотрите, что бы происходило, раз за разом, если бы Кутнер прятал под ковер х самых больших падений цен за х дней. Индекс был бы вдвое выше! Другими словами, те несколько самых больших взлетов, которые Кутнер убрал, и те взлеты, что он оставил, равно важны. Приведенный график показывает это со всей откровенностью. Нижняя линия отражает изменения индекса S&P500 c 1990 по 2005 год, а верхняя — тот же показатель за вычетом десяти крупнейших дневных движений цен.

Второй ключевой промах Башелье был даже более серьезным, на его корректировку ушли годы. Все, кого волнует изменение цен, знают о бизнес-циклах. Анализ, который я предпринял в 1962 – 1963 годах, смешал фазы низких и высоких ценовых колебаний. Более реалистичная модель должна закапываться глубже в цифры. Обычное решение предлагает концепцию бизнес-циклов и допускает, что разные фазы циклов следуют разным правилам. Вот только то, когда начинаются и когда заканчиваются эти самые циклы, всегда было штукой ненадежной, загадочной и понятной только спустя какое то время.

Первые вызовы концепции Башелье были полностью моих рук делом и на протяжении десятилетий оставались в них. В должный срок я смог доказать, что вариации в финансовых ценах могут быть подсчитаны с помощью модели, полученной благодаря моим работам в области фрактальной геометрии. Наблюдатель не сможет отличить друг от друга цифры, описывающие изменения в ценах от недели к неделе, от дня ко дню и от часа к часу. Это качество определяет графики цен как самоподобные фрактальные кривые и делает доступными много впечатляющих инструментов математического анализа. Фракталы — или их более позднее усовершенствование, мультифракталы, — не претендуют на то, чтобы с точностью предсказывать будущее. Но они создают более реалистичную картину рыночных рисков, чем простое наблюдение. В конце концов, и весьма неожиданно, я соединил эту работу с моей более старой теорией частоты употребления слов, что и привело меня к фрактальной геометрии хаоса.

comments powered by Disqus